Особенно, когда свою квартиру продаешь за рубли, а за покупаемую должен отдать в долларах?

Не совсем понял, что значит вести себя в рег. палате!? в палате вы и другая сторона сделки подаете необходимый пакет документов для регистрации и переходава права собственности, и все.

Если вы продаете квартиру не известноу человеку и чтобы себя обезопасить, то договор купли продажи квартиры лчше заключить у нотариуса - это дороже, но зато безопасней. Думаю что если покуатель сторнний человек, то он тоже будет бояться отждать Вам деньги, до регистрации права собственности на покупаемую квартиру. Можно предложить ему положить деньги на депозит нотариуса, и Вы сможете получить деньги после регистрации его прав на квартиру. Можно через ячейку банка. Оговорить в банке порядок выемки денег, при предъявлении определенных документов и т.п. Так что все зависит от сторон сделки. Вы можете хоть сегодня взять деньги за квартиру(если покупатель согласится) и потом оформлять документы.

В какой валюте продавать и покупать - это Вам решать. Я не могу сказать, что будет в стране через 1-2 и более дней. Может доллар подешевеет.

Про подписание договора я Вам все рассказал выше.

Как поэтапно проводить указанные действия?

В любом порядке. Договор - деньги, деньги-договр. Одновременно. Как договоритесь. Если со стороны продавца - то лучше сначала деньги, потом "стулья", если со стороны покупателя - наоборот. Для этогог есть депозит или банковская ячейка, чтобы обезопасить друг друга.