Я думала, что при наследстве должны переходить все права...

Да действительно, это так, потому что с момента смерти Вашей матери прекратился договор на предоставление услуг связи, заключенный при жизни матери с АТС. Для того что бы сохрать тел. номер необходимо Вам как новому собственнику квартиры заключить договор на себя. В этом и другом случае оплачиваются расходы одинаково.

Именно так. Согласно пункту 127 Правил оказания услуг местной, внутризоновой, междугородной и международной телефонной связи, утвержденных Постановлением Правительства Российской Федерации от 18 мая 2005 г. № 310, оператор связи до истечения срока принятия наследства (6 мес.), в состав которого входит телефонизированное помещение, не имеет права распоряжаться соответствующим абонентским номером. Лицо, принявшее наследство, в течение 30 дней с даты вступления в наследство вправе подать оператору связи заявление о заключении договора. Оператор связи обязан в течение 30 дней с даты регистрации заявления о заключении договора заключить с наследником договор. Наследник обязан оплатить оператору связи стоимость оказанных услуг телефонной связи за период до вступления в права наследования. В случае неподачи заявления в установленный срок оператор связи вправе распорядиться соответствующим абонентским номером.

Из этого следует, что с наследником заключается новый договор на обычных условиях. Права и обязанности наследодателя по старому договору не переходят к наследнику.

С уважением,