Может ли тетка мужа стать владельцем квартиры бабушки в ее отсутствие?

Вы излагаете совсем непонятно. Если уже дарственную оформили, то тетка ничего не может поставить за бабушку. Поскольку квартира уже на вашем муже. А вот если бабушка ещё ничего никому не оформила, то тетка может нотариуса пригласить в больницу, чтобы бабушка оформила квартиру ей.

Нет, не понятно изложили. Если бабушка ранее заключила с Вашим мужем договор дарения, и переход права собственности по этому договору прошёл регистрацию в Росреестре, то Ваш муж является на сегодняшний день собственником квартиры. В такой ситуации тётка мужа не может нигде поставить подписи и отнять квартиру. Но она может в судебном порядке попытаться оспорить договор дарения.

Тетка мужа - то есть сестра бабушки? Если будет подписано завещание, то смысла в нем нет, т.к. имущество передано по договору дарения. Оспорить можно любую сделку при наличии оснований, предусмотренных законом.

Дарственная - бытовой понятие, которое часто путают с обычным завещанием. Иначе бы ваш муж уже был собственником, так как по договору дарения бабушка передает, а одаряемый муж принимает в собственность квартиру, договор регистрируется. Судя по всему такого не было. Если муж наследник, то сможет потом оспаривать сделки, но не все сделки можно оспорить. Доказать придется все изложенное вами, но не обязательно что такие доказательства будут. Можете бабушке вызвать психиатра и засвидетельствовать ее состояние на настоящее время.

Это что за бред??? Дарственная, точнее договор дарения подлежит регистрации в Росреестре, точнее подаче в Росреестр и регистрации перехода права - с этого момента муж собственник. Что там она в действительности подписала или не подписала - выясняйте и уточняйте.