Может ли подрядчик предложить увеличение стоимости договора после более чем месячной работы?

дополнительным соглашением оформите

Можно, при наличии обоснованных причин

ст. 709 ГК РФ

Статья 709. Цена работы

5. Если возникла необходимость в проведении дополнительных работ и по этой причине в существенном превышении определенной приблизительно цены работы, подрядчик обязан своевременно предупредить об этом заказчика. Заказчик, не согласившийся на превышение указанной в договоре подряда цены работы, вправе отказаться от договора. В этом случае подрядчик может требовать от заказчика уплаты ему цены за выполненную часть работы.

Подрядчик, своевременно не предупредивший заказчика о необходимости превышения указанной в договоре цены работы, обязан выполнить договор, сохраняя право на оплату работы по цене, определенной в договоре.

6. Подрядчик не вправе требовать увеличения твердой цены, а заказчик ее уменьшения, в том числе в случае, когда в момент заключения договора подряда исключалась возможность предусмотреть полный объем подлежащих выполнению работ или необходимых для этого расходов.

При существенном возрастании стоимости материалов и оборудования, предоставленных подрядчиком, а также оказываемых ему третьими лицами услуг, которые нельзя было предусмотреть при заключении договора, подрядчик имеет право требовать увеличения установленной цены, а при отказе заказчика выполнить это требование - расторжения договора в соответствии со "статьей 451" настоящего Кодекса.