Могут ли нас принудить подписывать предварительный договр в судебном порядке или взыскать какие-то деньги?

Судя по тексту вопроса, не могут ни обязать подписывать, а тем более взыскать деньги. Договор аренды явно не относится к числу публичных, поэтому обращение в суд с тербованием о понуждении невозможно. А сам предварительный договор, в котором предусматривается возможность обращения в суд с требованием о понуждении заключить основной договор, тоже не подписан.

Факт направления является офертой.

ГК РФ.

"Статья 426. Публичный договор

1. Публичным договором признается договор, заключенный коммерческой организацией и устанавливающий ее обязанности по продаже товаров, выполнению работ или оказанию услуг, которые такая организация по характеру своей деятельности должна осуществлять в отношении каждого, кто к ней обратится (розничная торговля, перевозка транспортом общего пользования, услуги связи, энергоснабжение, медицинское, гостиничное обслуживание и т.п.).

Коммерческая организация не вправе оказывать предпочтение одному лицу перед другим в отношении заключения публичного договора, кроме случаев, предусмотренных законом и иными правовыми актами.

2. Цена товаров, работ и услуг, а также иные условия публичного договора устанавливаются одинаковыми для всех потребителей, за исключением случаев, когда законом и иными правовыми актами допускается предоставление льгот для отдельных категорий потребителей.

3. Отказ коммерческой организации от заключения публичного договора при наличии возможности предоставить потребителю соответствующие товары, услуги, выполнить для него соответствующие работы не допускается.

При необоснованном уклонении коммерческой организации от заключения публичного договора применяются положения, предусмотренные пунктом 4 статьи 445 настоящего Кодекса.

Статья 445. Заключение договора в обязательном порядке

1. В случаях, когда в соответствии с настоящим Кодексом или иными законами для стороны, которой направлена оферта (проект договора), заключение договора обязательно, эта сторона должна направить другой стороне извещение об акцепте, либо об отказе от акцепта, либо об акцепте оферты на иных условиях (протокол разногласий к проекту договора) в течение тридцати дней со дня получения оферты.

Сторона, направившая оферту и получившая от стороны, для которой заключение договора обязательно, извещение о ее акцепте на иных условиях (протокол разногласий к проекту договора), вправе передать разногласия, возникшие при заключении договора, на рассмотрение суда в течение тридцати дней со дня получения такого извещения либо истечения срока для акцепта.

2. В случаях, когда в соответствии с настоящим Кодексом или иными законами заключение договора обязательно для стороны, направившей оферту (проект договора), и ей в течение тридцати дней будет направлен протокол разногласий к проекту договора, эта сторона обязана в течение тридцати дней со дня получения протокола разногласий известить другую сторону о принятии договора в ее редакции либо об отклонении протокола разногласий.

При отклонении протокола разногласий либо неполучении извещения о результатах его рассмотрения в указанный срок сторона, направившая протокол разногласий, вправе передать разногласия, возникшие при заключении договора, на рассмотрение суда.

3. Правила о сроках, предусмотренные пунктами 1 и 2 настоящей статьи, применяются, если другие сроки не установлены законом, иными правовыми актами или не согласованы сторонами.

4. Если сторона, для которой в соответствии с настоящим Кодексом или иными законами заключение договора обязательно, уклоняется от его заключения, другая сторона вправе обратиться в суд с требованием о понуждении заключить договор.

Сторона, необоснованно уклоняющаяся от заключения договора, должна возместить другой стороне причиненные этим убытки.

Статья 429. Предварительный договор

См. схему "Виды договоров в зависимости от юридической направленности"

1. По предварительному договору стороны обязуются заключить в будущем договор о передаче имущества, выполнении работ или оказании услуг (основной договор) на условиях, предусмотренных предварительным договором.

2. Предварительный договор заключается в форме, установленной для основного договора, а если форма основного договора не установлена, то в письменной форме. Несоблюдение правил о форме предварительного договора влечет его ничтожность.

3. Предварительный договор должен содержать условия, позволяющие установить предмет, а также другие существенные условия основного договора.

4. В предварительном договоре указывается срок, в который стороны обязуются заключить основной договор.

Если такой срок в предварительном договоре не определен, основной договор подлежит заключению в течение года с момента заключения предварительного договора.

5. В случаях, когда сторона, заключившая предварительный договор, уклоняется от заключения основного договора, применяются положения, предусмотренные пунктом 4 статьи 445 настоящего Кодекса.

6. Обязательства, предусмотренные предварительным договором, прекращаются, если до окончания срока, в который стороны должны заключить основной договор, он не будет заключен либо одна из сторон не направит другой стороне предложение заключить этот договор".