Как можно провести ребенка через границу без согласия первого мужа в случае запроса на временное убежище?

Нет, не можете, и статус беженца гражданам Украины не предоставляется. Вы можете просить предоставить временное убежище (предоставляется на 1 год, предоставляется проживание в пункте размещения, сможете работать без получения разрешения на работу, мед.помощь бесплатно в рамках региональной программы обязательного медицинского страхования).

Для выезда ребенка нужно согласие отца в нотариальной форме или решение суда, иначе на украинской границе не пропустят.

Відповідно до п. 4 Правил перетинання державного кордону громадянами України, затверджених постановою Кабінету Міністрів України від 27.01.95 № 57 (у редакції постанови Кабінету Міністрів України від 25.08.2010р. № 724) Виїзд з України громадян, які не досягли 16-річного віку, в супроводі одного з батьків або інших осіб, уповноважених одним з батьків за нотаріально посвідченою згодою, здійснюється:

1) за нотаріально посвідченою згодою другого з батьків із зазначенням у ній держави прямування та відповідного часового проміжку перебування у цій державі, якщо другий з батьків відсутній у пункті пропуску;

2) без нотаріально посвідченої згоди другого з батьків:

якщо другий з батьків є іноземцем або особою без громадянства, що підтверджується записом про батька у свідоцтві про народження дитини, та який (яка) відсутній у пункті пропуску;

якщо у паспорті громадянина України для виїзду за кордон, з яким перетинає державний кордон громадянин, який не досяг 16-річного віку, або проїзному документі дитини є запис про вибуття на постійне місце проживання за межі України чи відмітка про взяття на консульський облік у дипломатичному представництві або консульській установі України за кордоном;

у разі пред'явлення документів або їх нотаріально засвідчених копій:

- свідоцтва про смерть другого з батьків;

- рішення суду про позбавлення батьківських прав другого з батьків;

- рішення суду про визнання другого з батьків безвісно відсутнім;

- рішення суду про визнання другого з батьків недієздатним;

- рішення суду про надання дозволу на виїзд з України громадянину, який не досяг 16-річного віку, без згоди та супроводу другого з батьків;

- довідки про народження дитини, виданої відділом реєстрації актів цивільного стану, із зазначенням підстав внесення відомостей про батька відповідно до частини першої статті 135 Сімейного кодексу України (під час виїзду дитини за кордон у супроводі одинокої матері).