Как доказать, что сын является иждивенцем при оформлении надбавки к пенсии - вопросы и возможные документы

У меня сын-студент 1 курса очного отделения,18 лет. Прописан с отцом, я - зарегистрирована в другом городе. Пока он учился в школе, надбавка к пенсии за иждивенца получала без всяких проблем, отец этой надбавки не получал. После окончания школы и поступления в институт, сыну выдали справку, что он учится на первом курсе очного отделения института, которую я и привезла в пенсионный фонд. В получении надбавки за иждивенца мне было отказано, тк я ничем не могу доказать, что помогают сыну... А именно: он со мной не зарегистрирован и учёбу его оплатил отец, а не я. Предложили мне доказать факт, что я помогают сыну в суде или оформить доплаты на отца, Причём специалист пояснила мне, что законом конкретно не описаны документы, которые должны подтвердить факт того, что сын находится у меня на иждивении. На моё предложение предоставить расписки от отца, и на личных устных показаниях сына (он был вместе со мной), мне было сказано, что для пенсионного фонда это не документы, и они будут оформлять надбавка только, если я в суде докажу этот факт.

Прошу пояснить, действительно, если я не приписана вместе с сыном, доказать, что он на моём совместном с мужем иждивении, можно только в суде? Какие документы, кроме судебных помогут убедить в этом пенсионный фонд? И насколько эта надбавка реально увеличит мою пенсию по старости?

Я правильно понимаю, что для назначение этой надбавки отцу (он тоже пенсионер), ему будет достаточно всего лишь предоставить справку, что они с сыном проживают в одной квартире?

С уважением!