Можно ли заменить водительские права в Москве без прописки и временной регистрации, проживая в Челябинской области?

Нет не можете только по месту временной или постоянной регистрации.

Замена водительского удостоверения в связи с окончанием срока действия. Пункт 3 правил проведения экзаменов на право управления транспортными средствами и выдачи водительских удостоверений:

3. Проведение экзаменов у лиц, постоянно проживающих в Российской Федерации, выдача российских национальных и международных водительских удостоверений и обмен иностранных водительских удостоверений осуществляются в подразделениях Госавтоинспекции по месту обращения указанных лиц.

Проведение экзаменов у лиц, временно проживающих либо временно пребывающих на территории Российской Федерации, выдача российских национальных и международных водительских удостоверений и обмен иностранных водительских удостоверений осуществляются в подразделениях Госавтоинспекции, расположенных в пределах субъекта Российской Федерации, в котором указанные лица временно проживают либо временно пребывают.

В настоящее время замена водительских прав возможна в отделении ГИБДД по месту обращения, т.е. в любом отделении на территории страны.

При этом не имеет значения, имеете ли Вы регистрацию в данном субъекте Российской Федерации. Права Вам обменяют в любом случае.

Также не имеет значения, где Вы до этого меняли водительское удостоверение. База данных в ГИБДД общая, поэтому никаких проблем обращение в "новом" регионе не вызовет.[b][/b]