Восстановление срока для принятия наследства - возможно ли и в каких случаях?

Вы можете не беспокоиться насчет срока проживание в этой квартире после смерти отца считается фактическим вступлением в наследство Поэтому здесь нет правила 6 месяцев Заявление может подать нотариусу в любое время

Срок не восстановят. Вы должны подавать иск о фактическом принятии наследства. По закону для этого необязательно подавать заявление нотариусу, досточно пользоваться имуществом как своим, нести расходы на его содержание. Если Вы фактически проживаете в квартире, то иск удовлетворят и уже по судебному решению получите право собственности.

Если Вы были зарегистрированы в спорной квартире по состоянию на день смерти матери - Вам достаточно обратиться к нотариусу за выдачей свидетельства о праве на наследство, потому как нотариус признает, что фактически Вы наследство приняли. Если же Вы не были там зарегистрированы - Вам придется либо восстанавливать срок на принятие наследство, либо устанавливать юридический факт принятия наследство. И то, и другое производится в судебном порядке, после получения от нотариуса отказа в совершении нотариального действия. Так что Вам все равно придется начать процедуру с визита к нотариусу. Удачи.

Уточните вопрос, Вы пишите, что "до смерти проживали с отцом", и, в тоже время, "до смерти отца проживали за границей"?

Соответственно, отвечать можно всё что угодно.

Правовое значение имеетто обстоятельство были ли Вы зарегистрированы в спорной квартире. Если нет, то придется обращаться в суд. Сначала обратитесь к нотариусу, если нотариус откажет, то тогда в суд с иском.