Могу ли я с подобной справкой попытаться восстановиться на работе или нужен только больничный?

Да если у Вас будет такая справка, с обязательным указанием на необходимость ухода за больной дочкой, то у Вас есть шанс восстановиться на рабочем месте.

Т.к. прогулом считается отсутствие на рабочем месте БЕЗ УВАЖИТЕЛЬНОЙ причины, у Вас же причина была уважительной.

кроме того, Вы пишите, что Вам дали приказ о вынесении Вам выговора, а потом еще один приказ об увольнении, если это действительно так, то Вас восстановят на рабочем месте 100%, т.к. это есть применение двух видов дисциплинарной овтетственности за одно нарушение, что не допускается, ст. 193 ТК РФ -

До применения дисциплинарного взыскания работодатель должен затребовать от работника письменное объяснение. Если по истечении двух рабочих дней указанное объяснение работником не предоставлено, то составляется соответствующий акт.

Непредоставление работником объяснения не является препятствием для применения дисциплинарного взыскания.

Дисциплинарное взыскание применяется не позднее одного месяца со дня обнаружения проступка, не считая времени болезни работника, пребывания его в отпуске, а также времени, необходимого на учет мнения представительного органа работников.

Дисциплинарное взыскание не может быть применено позднее шести месяцев со дня совершения проступка, а по результатам ревизии, проверки финансово-хозяйственной деятельности или аудиторской проверки - позднее двух лет со дня его совершения. В указанные сроки не включается время производства по уголовному делу.

За каждый дисциплинарный проступок может быть применено только одно дисциплинарное взыскание.

Приказ (распоряжение) работодателя о применении дисциплинарного взыскания объявляется работнику под роспись в течение трех рабочих дней со дня его издания, не считая времени отсутствия работника на работе. Если работник отказывается ознакомиться с указанным приказом (распоряжением) под роспись, то составляется соответствующий акт.

Дисциплинарное взыскание может быть обжаловано работником в государственную инспекцию труда и (или) органы по рассмотрению индивидуальных трудовых споров.

Обращаться в трудовую инспекцию вместе с коллективом Вам нет необходимости, вам необходимо обращатсья в суд, причем обращаю Ваше внимание, что срок исковой давности по делам об увольнении составляет 1 месяц со дня получения трудовой книжки.

В заявлении в суд Вы можете также потребовать, чтобы Вам изменили формулировку увольнения по собственному желанию на дату вынесения судом решения. Соответственно Вы вправе требовать компенсацию за время вынужденного прогула и моральный ущерб.