Как правильно написать отчество от имени Отари и что делать, если ЗАГС отказался указать отчество Отаровна в свидетельстве о рождении?

Ваш вопрос не юридический. Больше из сферы правильного употребления русского языка при образовании отчеств. Каких либо строгих правил не существует. Но принято, что суффикс -ович участвует в образовании отчеств от личных имен с нулевым окончанием, а также от имен Вавила, Гаврила, Данила, Зосима, Иона: Борис - Борисовна; Петр - Петровна. Отчества от мужских личных имен с окончанием на -ий, -ей (Василий, Сергей) и с мягкой непроизводной основой (Игорь), а также от имени Яков образуются с помощью суффикса -евич. Андрей - Андреевна; Дмитрий - Дмитриевна; Яков - Яковлевна.

Поэтому, правильно было бы записать отчество от имени Отари - Отариевна. В то же время, как я отметила, это не строгие правила, поэтому если Вы настаиваите на указаниии отчества Отаровна, работники ЗАГСа обязаны записать именно такое отчество. Тем более. в Вашей ситуации, когда у Вас брак с матерью ребенка не зарегистрирован: ст. 18 Федерального закона "Об актах гражданского состояния (в случае, если мать не состоит в браке с отцом ребенка и отцовство в отношении ребенка не установлено, имя ребенка записывается по желанию матери, отчество - по имени лица, указанного в записи акта о рождении в качестве отца ребенка, фамилия ребенка - по фамилии матери.

В случае, если по желанию матери, не состоящей в браке с отцом ребенка, сведения об отце ребенка не вносятся в запись акта о рождении, отчество ребенка записывается по указанию матери). Обжалуйте их действия в администрацию, к которой относится отдел ЗАГС, руководителю вышестоящего органа ЗАГС либо в суд.