Теперь он её склоняет к тому, чтобы она его прописала в нашей квартире, как законного мужа.

Вы не сообщили, кто собственник этой квартиры, или же она по договору найма? Ну да ладно- регистрация по месту жительства и по месту пребывания в жилом помещении возможна только с письменного согласия всех совершеннолетних, проживающих в этой квартире на законных основаниях. Это первое. Второе. Если всё-таки есть необходимость зарегистрировать мужа вашей дочери в квартире, но нет желания наделять его правами нанимателя (если квартира по договору найма)-можно составить и подписать письменное соглашение (можно в простой письменной форме). В этом соглашении указать, что все сонаниматели (т.е. взрослые, проживающие в квартире) дают согласие на вселение этого человека в квартиру и его регистрацию по месту жительства в ней, но без прав нанимателя, на неопределенное время, до решения им и его женой вопроса о своем жилье. Ещё лучше дать согласие на регистрацию его по месту пребывания, на определенный срок (допустим- один год). По прошествии года можно вновь дать согласие на такую же регистрацию. Эта регистрация сама по себе не говорит о возникновении у человека каких-либо прав на жилье, кроме права пользоваться квартирой в течение указанного в свидетельстве о регистрации времени

Нельзя. Более того, для регистрации иностранного гражданина необходимо получить как минимум, разрешение на временное проживание.