Ремонт будет производиться за счет страховой компании по КАСКЕ, но насколько это все затянется неизвестно.

Вам нужно будет обращаться за возмещением УТС к страховщику виновника по ОСАГО. Срок обращения 15 дней.

Во-первых стоит почитать правила страхования КАСКО - возмещается ли по ним УТС или нет. Во-вторых - там же надо почитать, что конкретно пишут про обеспечения страхователем страховщику возможности предъявления иска к виновнику/его страховой. Т.к. выплатив Вам по КАСКО Ваша страховая обратится в страховую виновника за получением выплаты по ОСАГО. И если сумма превышает 120 т.р., то после взаиморасчетов двух СК Вам от ОСАГО виновника может ничего и не достаться - его СК полностью выполнит свои обязательства в рамках договора ОСАГО, выплатив максимально возможную сумму за 1 поврежденное ТС. Далее - если Вы "успеете первым" подать заявление на выплату УТС по ОСАГО и ущерб и УТС опять же превышают 120 т.р. есть шанс, что Ваша СК на основании ст. 965 ГК РФ может отказать Вам в выплате или потребовать возврата части уже произведённой выплаты. Лучше всё же подать иск на виновника (можно указать в качестве соответчика и его СК) на возмещение УТС и пусть суд сам решает кто из СК и что должен выплатить. Получить компенсацию морального вреда, если не было вреда здоровью, представляется в данной ситуации и существующей практике проблематичным.