Как изменить фамилию, если загс требует доказательства ее несклоняемости?

Здесь на первый взгляд все сложно. Но только на первый. Итак, правила:

Если фамилия иноязычная (Гольдберг) или русская (Волк) и заканчивается на согласный - то она склоняется, если относится к мужчине (Гольдберга, Гольдбергу), и не склоняется, если относится к женщине (всегда Гольдберг).

Если фамилия славянская и заканчивается на -ых, -их, то она никогда не склоняется, независимо от пола "владельца".

Фамилии, которые заканчиваются на -ч - мужские склоняются (Вулич, Вулича, Вуличу), женские не склоняются (Вулич - всегда).

Фамилии, совпадающие с именами нарицательными или собственными (Нос, Грач, Могила, Моль, Рысь и др.) - склоняются у мужчин (Моль, Моля, Молю) и не склоняются у женщин (Моль она и есть Моль, всегда). Есть одно НО: есть такая фамилия Мышь (и ей подобные). Так вот если Вы хотите сказать, что вышла книга мужчины, которого зовут Иннокентий Мышь, то это будет звучать не книга Иннокентия Мыши (казалось бы так и надо склонять мышь), а книга Иннокентия Мыша.

Фамилии, которые заканчиваются на -ово, -ако, -яго, -аго - не склоняются никогда (например, Живаго).

Фамилии, которые заканчиваются на гласные (кроме безударной а) - Золя, Моруа, Дюма и др. - не склоняются.

Фамилии на -иа тоже не склоняются (Гулиа). Это же касается и финских фамилий на -а. Зато фамилии на -ия склоняются (Берия, Берии, Берию).

В официальной речи не склоняются фамилии на -ко и -о (Франко, Рушайло, Коваленко). Но в художественной литературе и разговорной речи часто склоняются. Это же касается таких редких фамилий, как Толокно, Мыло и др.

Фамилии, которые заканчиваются на -ок, -ек, ец. Вот тут спорно. Но стилистические словари рекомендуют склонять мужские фамилии с такими окончаниями. Например, Алексею Котенку.

Еще один очень запутанный случай - грузинские и японские фамилии. Они то склоняются, то нет. В последнее время склоняются. Хотя понятно, что фамилии с окончанием - д з е не оченьто посклоняешь. А вот фамилию Чикобава и Окуджава (обе грузинские) легко можно склонять (например, песни Окуджавы)

а вообще, запрос в институт русского языка сделайте.