И соответственно, каковы правила расторжения такого "документа", если по нему уже был произведен авансовый платёж?

Отсутствие подписи на документе - это нарушение ,но САМО ПО СЕБЕ и В ОТДЕЛЬНОСТИ оно не означет, что договор нитожен.Правила его расторжения те же , что и для любых других договоров.

Светлана, если я правильно понял, что договор заключался между физ. лицом и юр. лицом, а руководитель юр. лица (его представитель) поставил на договре только печать, без подписи?!

Статья 432 ГК РФ, Основные положения о заключении договора

1. Договор считается заключенным, если между сторонами, в требуемой в подлежащих случаях форме, достигнуто соглашение по всем существенным условиям договора.

Существенными являются условия о предмете договора, условия, которые названы в законе или иных правовых актах как существенные или необходимые для договоров данного вида, а также все те условия, относительно которых по заявлению одной из сторон должно быть достигнуто соглашение.

Я не буду оспаривать мнения других колег, но я считаю, что данный договор является незаключенным, поскольку контрагент не подтвердил свое согласие относительно его существеных условий.

Мое личное мнение - договор не заключен, т.к. в данном случае только печати юрлица недостаточно. Была бы только подпись гендиректора без печати - было бы достаточно, т.к. предполагается, что руководитель организации действует в ее интересах. В данном же случае - отсутствует явно выраженное согласие уполномоченного представителя организации, действующего в интересах данной организации. Если произведен платеж - его можно вернуть в порядке неосновательного обогащения.