Возможна ли помощь родственникам гражданина Азербайджана, депортированного из России, чтобы он вернулся раньше окончания срока?

Только через суд.

Оценивая нарушение тех или иных правил пребывания (проживания) иностранных граждан в РФ как противоправное деяние, а именно: как административный проступок, и, следовательно, требующее применения мер государственного принуждения, в том числе в виде высылки за пределы РФ, отказа в выдаче разрешения на временное пребывание или аннулирования ранее выданного разрешения, уполномоченные органы исполнительной власти и суды обязаны соблюдать вытекающие из Конституции РФ требования справедливости и соразмерности, которые, как указал Конституционный Суд РФ, предполагают дифференциацию публично-правовой ответственности в зависимости от тяжести содеянного, размера и характера причиненного ущерба, степени вины правонарушителя и иных существенных обстоятельств, обусловливающих индивидуализацию при применении взыскания.

Согласно сложившейся практике, необходимость вмешательства в личную и семейную жизнь должна основываться на насущной потребности общества и быть соразмерной правомерной цели, преследуемой государственными органами. Принцип единства семьи положен в основу ряда решений Европейского Суда по правам человека, а именно: «Беррехаб против Нидерландов» от 21.06.1998; «Бельджуди против Франции» от 26.04.1992 (Серия А, т.234-А); «Мустаким против Бельгии» от 18.02.1991 (Серия А, т.193); «Насри против Франции» от 13.07.1995 (Серия А, т.320-В), «Закаев и Сафанова против России» от 11.02.2010. Данными судебными решениями выдворение названных граждан признано противоречащим статье 8 Конвенции.