Как получить компенсацию за предыдущие годы посещения частного детского сада?

Неизвестно. Федеральное законодательство говорит о компенсации только для государственных или муниципальных садов.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 13.07.2015) "Об образовании в Российской Федерации" (с изм. и доп., вступ. в силу с 24.07.2015)

"Статья 65. Плата, взимаемая с родителей (законных представителей) за присмотр и уход за детьми, осваивающими образовательные программы дошкольного образования в организациях, осуществляющих образовательную деятельность

5. В целях материальной поддержки воспитания и обучения детей, посещающих образовательные организации, реализующие образовательную программу дошкольного образования, родителям (законным представителям) выплачивается компенсация в размере, устанавливаемом нормативными правовыми актами субъектов Российской Федерации, но не менее двадцати процентов среднего размера родительской платы за присмотр и уход за детьми в государственных и муниципальных образовательных организациях, находящихся на территории соответствующего субъекта Российской Федерации, на первого ребенка, не менее пятидесяти процентов размера такой платы на второго ребенка, не менее семидесяти процентов размера такой платы на третьего ребенка и последующих детей. Средний размер родительской платы за присмотр и уход за детьми в государственных и муниципальных образовательных организациях устанавливается органами государственной власти субъекта Российской Федерации. Право на получение компенсации имеет один из родителей (законных представителей), внесших родительскую плату за присмотр и уход за детьми в соответствующей образовательной организации.

6. Порядок обращения за получением компенсации, указанной в части 5 настоящей статьи, и порядок ее выплаты устанавливаются органами государственной власти субъектов Российской Федерации.

7. Финансовое обеспечение расходов, связанных с выплатой компенсации, указанной в части 5 настоящей статьи, является расходным обязательством субъектов Российской Федерации".