Нужна ли директору доверенность на управление машиной организации и какие документы требуются?

Нет, не нужна.

Не нужна ему никакая доверенность.

Перечень документов, которые водитель должен предоставлять по требованию сотрудников ГИБДД, регламентируется п. 2.1.1. ПДД:

2.1.1. Иметь при себе и по требованию сотрудников полиции передавать им, для проверки:

водительское удостоверение или временное разрешение на право управления транспортным средством соответствующей категории или подкатегории;

регистрационные документы на данное транспортное средство (кроме мопедов), а при наличии прицепа - и на прицеп (кроме прицепов к мопедам);

в установленных случаях разрешение на осуществление деятельности по перевозке пассажиров и багажа легковым такси, путевой лист, лицензионную карточку и документы на перевозимый груз, а при перевозке крупногабаритных, тяжеловесных и опасных грузов - документы, предусмотренные правилами перевозки этих грузов;

страховой полис обязательного страхования гражданской ответственности владельца транспортного средства в случаях, когда обязанность по страхованию своей гражданской ответственности установлена федеральным законом.

В случаях, прямо предусмотренных действующим законодательством, иметь и передавать для проверки работникам Федеральной службы по надзору в сфере транспорта лицензионную карточку, путевой лист и товарно-транспортные документы.

Данный перечень является исчерпывающим.