Возможны ли проблемы с трудоустройством без ИНН при неподходящей регистрации и возможность работодателя оформить ИНН?

Работодатель ИНН не оформляет,это не свидетельство обязательного пенсионного страхования Вам самим надо. Имейте ввиду, что ИНН не требуется при приеме на работу.

ТК РФ, Статья 65. Документы, предъявляемые при заключении трудового договора

Путеводитель по кадровым вопросам. Вопросы применения ст. 65 ТК РФ

Если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, при заключении трудового договора лицо, поступающее на работу, предъявляет работодателю:

(в ред. Федерального закона от 01.12.2014 N 409-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

паспорт или иной документ, удостоверяющий личность;

трудовую книжку, за исключением случаев, когда трудовой договор заключается впервые или работник поступает на работу на условиях совместительства;

страховое свидетельство обязательного пенсионного страхования;

(в ред. Федерального закона от 21.07.2014 N 216-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

документы воинского учета - для военнообязанных и лиц, подлежащих призыву на военную службу;

документ об образовании и (или) о квалификации или наличии специальных знаний - при поступлении на работу, требующую специальных знаний или специальной подготовки;

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

справку о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования либо о прекращении уголовного преследования по реабилитирующим основаниям, выданную в порядке и по форме, которые устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере внутренних дел, - при поступлении на работу, связанную с деятельностью, к осуществлению которой в соответствии с настоящим Кодексом, иным федеральным законом не допускаются лица, имеющие или имевшие судимость, подвергающиеся или подвергавшиеся уголовному преследованию.

(абзац введен Федеральным законом от 23.12.2010 N 387-ФЗ)

КонсультантПлюс: примечание.

В соответствии с Федеральным законом от 13.07.2015 N 230-ФЗ с 1 января 2017 года часть первая статьи 65 будет дополнена абзацем.

В отдельных случаях с учетом специфики работы настоящим Кодексом, иными федеральными законами, указами Президента Российской Федерации и постановлениями Правительства Российской Федерации может предусматриваться необходимость предъявления при заключении трудового договора дополнительных документов.

Запрещается требовать от лица, поступающего на работу, документы помимо предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами, указами Президента Российской Федерации и постановлениями Правительства Российской Федерации.

При заключении трудового договора впервые трудовая книжка и страховое свидетельство обязательного пенсионного страхования оформляются работодателем.

(в ред. Федерального закона от 21.07.2014 N 216-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

В случае отсутствия у лица, поступающего на работу, трудовой книжки в связи с ее утратой, повреждением или по иной причине работодатель обязан по письменному заявлению этого лица (с указанием причины отсутствия трудовой книжки) оформить новую трудовую книжку.

(часть пятая введена Федеральным законом от 30.06.2006 N 90-ФЗ)