Могу ли я сразу подать в суд и по чьему месту жительству моему или ответчика.

В Вашем случае возможно предъявление двух требований (как по отдельности, так и одновременно):

1. О возмещении вреда, причинённого здоровью гражданина:

1.1. Ответчик в любом случае, вне зависимости от возраста ребёнка, будет принуждён к возмещению расходов, вызванных повреждением здоровья - лекарства, специальные материалы, не покрываемые ОМС. Если ребёнку менее 14-ти лет, и ДТП никак не скажется на его трудоспособности, это единственное, что можно получить в рамках возмещения вреда здоровью.

1.2. Кроме того, если ребёнку уже есть 14 лет, или, не про Вашего ребёнка будет сказано, по достижении им 14-ти лет обнаружатся непосредственно связанные с ДТП проблемы со здоровьем, будет необходимо провести экспертизу для установления степени утраты трудоспособности, и тогда ответчик будет обязан возмещать ребёнку вред, связанный с уменьшением его трудоспособности, исходя из прожиточного минимума

1.3. В случаях, описанных в п.1.2 этого ответа, когда ребёнок пойдёт работать, он будет вправе требовать увеличения размера возмещения вреда исходя из получаемого им заработка.

2. В любом случае Вы можете требовать от имени ребёнка возмещения морального вреда (физических и нравственных страданий). Не просите слишком много; я бы рекомендовал оценить его в 60 000 руб. (взыщут, скорее всего, меньше). В исковом заявлении опишите, какие именно страдания претерпел ребёнок (испуг - боль - испуг от пребывания в больнице - невозможность двигаться - чувство собственной слабости - невозможность двигаться, играть, общаться со сверстниками).

Подсудность рекомендую устанавливать по месту жительства ответчика. Хотя требования о возмещении вреда здоровью могут предъявляться по месту жительства истца или по месту причинения вреда, требования о возмещении морального вреда зачастую выделяются судьями в отдельное производство и передаются в суд по месту жительства ответчика; в итоге, истец вместо одного дела получает два, а ответчик - возможность ходатайствовать о приостановлении производства по одному делу до рассмотрения другого, поскольку они, дескать, взаимосвязаны. Такие требования, как Ваши, рассматриваются в районных судах.

При написании искового заявления ознакомьтесь со ст.ст.15, 151, 1064, 1079, 1084, 1085, 1087, 1092 Гражданского кодекса и ст.ст.23, 28, 29, 37, 98, 131, 132 ГПК РФ. Согласно ст.333.19 части второй НК РФ, госпошлина за предъявление требования о возмещении морального вреда составляет 200 руб., за предъявление требования о возмещении вреда, причинённого здоровью, госпошлина не взимается (ст.333.36).

Разумеется, Вы сэкономите время, если поручите написание искового заявления юристу.