Имеет ли работодатель право требовать участия в конкурсе или уволить старшего преподавателя, находящегося в отпуске по уходу за ребёнком?

Нет вас не могут уволить, пока вы в отпуске по уходу за ребенком.

Срочный договор подлежит расторжению в случае окончания его срока. Статья 79 ТК РФ . Это увольнение не по инициативе работодателя, а соответственно часть 4 ст. 261 ТК РФ о запрете на увольнение женщин , имеющих детей до 3-х лет, а также запрет на увольнение во время отпуска на этот случай не распространяется.

по этому основанию - не могут уволить, закон имеет в виду вообще расторжение договора, а не только по инициативе

ст. 261 ТК

Расторжение трудового договора с женщиной, имеющей ребенка в возрасте до трех лет, с одинокой матерью, воспитывающей ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет или малолетнего ребенка - ребенка в возрасте до четырнадцати лет, с другим лицом, воспитывающим указанных детей без матери, с родителем (иным законным представителем ребенка), являющимся единственным кормильцем ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет либо единственным кормильцем ребенка в возрасте до трех лет в семье, воспитывающей трех и более малолетних детей, если другой родитель (иной законный представитель ребенка) не состоит в трудовых отношениях, по инициативе работодателя не допускается (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 - 8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 настоящего Кодекса).