Как поступить, если получил письмо о недостающих документах при подаче заявления в суд и срок предоставления заканчивается через 2 дня, а доставка почтой занимает 10 дней?

До 11.07 если успеете представите, явитесь в суд, если не успеваете можно пойти на приём к куда обьяснить ситуацию и просить продлить время для предоставления документов.

Вы "судитесь" далеко от места жительства, я так понимаю, раз "Письмо идет по почте 10 дней"? Это может вылиться в затягивание решения вопроса о принятии иска к производству. Документы, конечно же, вышлите (срок, кстати, не 10-го, а 11-го, т.к. 10-е воскресенье), не позднее 24 ч. 11.07 - в случае, если ... документы ... были сданы в организацию почтовой связи до двадцати четырех часов последнего дня срока, срок не считается пропущенным.

Если суд всё же возвратит заявление, то придётся определение о возврате обжаловать в вышестоящую инстанцию. Вашей вины в формальном пропуске срока не будет, вина либо суда (т.к. поздно отправили вам определение об оставлении без движения, и суд должен был учесть, что вы проживаете далеко от места нахождения суда, судом процессуальные сроки должны устанавливаться с учетом принципа разумности) или почты (т.к. долго пересылают корреспонденцию).

В сопроводительном к документам укажите, что определение об оставлении без движения было получено лишь 08.07, в подтверждение чего приобщите скан конверта, на штампах почты указаны даты, когда суд отправил, и когда конверт прибыл в ваше почтовое отделение, быть может, это поможет.