Есть ли возможность повторной отсрочки для молодого человека, окончившего платную магистратуру и желающего поступить на бюджетную магистратуру в другом институте?

Это вы должны узнать в вузе, в который он хочет поступить. Потому что везде по-разному

Да, можно.

Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 03.07.2016) "О воинской обязанности и военной службе" (с изм. и доп., вступ. в силу с 04.07.2016)

Статья 24. Отсрочка от призыва граждан на военную службу

Право на предусмотренную настоящим подпунктом отсрочку от призыва на военную службу сохраняется за гражданином:

получившим во время освоения образовательной программы академический отпуск или перешедшим в той же образовательной организации с одной образовательной программы на другую имеющую государственную аккредитацию образовательную программу того же уровня образования либо переведенным в другую образовательную организацию для освоения имеющей государственную аккредитацию образовательной программы того же уровня образования. Право на отсрочку от призыва на военную службу сохраняется за гражданином по основаниям, предусмотренным настоящим абзацем, только при условии, если общий срок, на который гражданину была предоставлена отсрочка от призыва на военную службу для обучения в данной образовательной организации или в образовательной организации, из которой осуществлен перевод, не увеличивается или увеличивается не более чем на один год;