Наследование квартиры - 13% налог государству и его законность?

Нет, налог вы платить не должны, только госпошлина нотариусу за оформление наследства.

22) за выдачу свидетельства о праве на наследство по закону и по завещанию:

детям, в том числе усыновленным, супругу, родителям, полнородным братьям и сестрам наследодателя - 0,3 процента стоимости наследуемого имущества, но не более 100 000 рублей;

То есть заплатить с квартиры вы должны 100 000 рублей.

Закон 78-ФЗ налог на наследуемое имущество не платится наследниками в вашем конкретном случае. Несмотря на отсутствие налога на наследство в современной законодательной базе, системой предусмотрена так называемая «государственная пошлина». Это понятие подразумевает уплату, которую обязан внести наследник во время процедуры подтверждения права на наследство. Она насчитывается за получение свидетельства, подтверждающего его права как наследника. Рассчитывается сумма этой пошлины соответственно статье НК 333.24, пункта 22:

Лица-наследники, имеющие первую и вторую степень родства с умершим, от стоимости получаемого в порядке наследования имущества должны выплатить государству 0,3%, но сумма эта не должна превышать 100 тысяч рублей РФ.

Согласно абз.18 ст. 217 НК РФ, доходы, выраженные как в денежной, так и в натуральной формах, получаемые в порядке наследования, не подлежат налогообложению по нормам главы 23 НК РФ.