Заголовок - Неожиданные препятствия - как решить ситуацию с неотработанным отпуском и срочной потребностью в документах при смене работы?

Доброго времени суток. К сожалению, если работодатель просит отработать придется это делать если нет оснований для увольнения без отработки перечисленных в ТК РФ:

Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Общее правило — увольнение по собственному желанию возможно по письменному заявлению, которое подается не позднее чем за 2 недели до даты увольнения. Кроме того, в некоторых ситуациях работодатель обязан уволить работника в тот день, который он укажет в заявлении. Это случаи, когда работник не может продолжить работу по уважительным причинам. Таковыми причинами ТК РФ называет выход на пенсию, поступление в образовательное учреждение. Это лишь примерный перечень оснований. Сюда можно отнести поступление на военную службы по призыву, уход за больным родственником, переезд в другой город. Однако по поводу наличия или отсутствия таковых оснований могут быть разногласия с работодателем, поскольку понятие "уважительная причина" является оценочным.

Рассмотрите как вариант "уход на больничный" и при этом одновременно направление заявления об увольнении по почте заказным письмом с уведомлением и описью вложения.