Можно ли выбрать судью для проведения процесса? Дать отвод назначенному судье?

Вы вправе не выбирать судью для ведения процесса, а заявить отвод судье, который по тем или иным причинам заинтересован в результатах рассмотрения дела.

Статья 16. Основания для отвода судьи

1. Мировой судья, а также судья не может рассматривать дело и подлежит отводу, если он:

1) при предыдущем рассмотрении данного дела участвовал в нем в качестве прокурора, секретаря судебного заседания, представителя, свидетеля, эксперта, специалиста, переводчика;

2) является родственником или свойственником кого-либо из лиц, участвующих в деле, либо их представителей;

3) лично, прямо или косвенно заинтересован в исходе дела либо имеются иные обстоятельства, вызывающие сомнение в его объективности и беспристрастности.

2. В состав суда, рассматривающего дело, не могут входить лица, состоящие в родстве между собой.

3. Наличие информации о внепроцессуальном обращении, поступившем судье по гражданскому делу, находящемуся в его производстве, само по себе не может рассматриваться в качестве основания для отвода судьи.

Выбрать можно только третейского судью. В государственных судах судьи назначаются. Заявить отвод судье - право участников процесса по основаниям предусмотренных процессуальным законодательством. Например, в гражданском процессе, судья не может рассматривать дело и подлежит отводу, если он:1) при предыдущем рассмотрении данного дела участвовал в нем в качестве прокурора, секретаря судебного заседания, представителя, свидетеля, эксперта, специалиста, переводчика;2) является родственником или свойственником кого-либо из лиц, участвующих в деле, либо их представителей;3) лично, прямо или косвенно заинтересован в исходе дела либо имеются иные обстоятельства, вызывающие сомнение в его объективности и беспристрастности.