Если нет, то какой срок должен прожить прежний хозяин в проданной квартире, чтобы получить на неё часть прав?

Ответ на вопрос уже дан.

В тексте договора должен быть пункт о том,что на момент заключения договора в квартире зарегистрирован:ФИО, который дал обязательство о переезде по адресу:_______и снятии с регистрационного учёта в срок до______.Если в договоре будет указано,что на момент подписания договора в квартире зарегистрирован: ФИО и указанное обстоятельство не является для покупателя обременением, то Вы купили квартиру вместе с ФИО и он будет иметь право на проживание в квартире,но не право собствнности,которое принадлежит Вам.В соответствии со ст.556 ГК РФ передача недвижимости осуществляется по подписываемому сторонами передаточному акту,который подтверждает сам факт исполнения обязательства продавцом о передаче квартиры покупателю.Уклонение одной из сторон от подписания акта считается отказом передать объект недвижимости со стороны продавца,а со стороны покупателя-отказом принять имущество.В акте оговариваются все замеченные недостатки,чтобы потом покупатель не заявлял претензии,ссылаясьна то,что его об этом недостатке не предупредили.После составления акта передаются ключи.Акт нужен и покупателю,т.к перед выездом и продажей, то есть в последний момент продавец может снять и вывезти газовую плиту,сантехническое оборудование,вырвать розетки и.т.п.