Должны ли мне по закону продлить время пребывания в РФ на 2 месяца (пока ждать квоту либо отказ) или придётся выезжать?

Продление возможно.

Статья 5. Временное пребывание иностранных граждан в Российской Федерации

1. Срок временного пребывания иностранного гражданина в Российской Федерации определяется сроком действия выданной ему визы, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Федеральным законом.

(в ред. Федерального закона от 19.05.2010 N 86-ФЗ)

Срок временного пребывания в Российской Федерации иностранного гражданина, прибывшего в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, не может превышать девяносто суток, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Федеральным законом.

2. Временно пребывающий в Российской Федерации иностранный гражданин обязан выехать из Российской Федерации по истечении срока действия его визы или иного срока временного пребывания, установленного настоящим Федеральным законом или международным договором Российской Федерации, за исключением случаев, когда на день истечения указанных сроков ему продлены срок действия визы или срок временного пребывания, либо ему выданы новая виза, или разрешение на временное проживание, или вид на жительство, либо у него приняты заявление и иные документы, необходимые для получения им разрешения на временное проживание в порядке, предусмотренном статьей 6.1 настоящего Федерального закона, либо федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим правоприменительные функции, функции по контролю, надзору и оказанию государственных услуг в сфере миграции (далее - федеральный орган исполнительной власти в сфере миграции), принято ходатайство работодателя или заказчика работ (услуг) о привлечении иностранного гражданина к трудовой деятельности в качестве высококвалифицированного специалиста или заявление работодателя или заказчика работ (услуг) о продлении срока действия разрешения на работу, выданного такому высококвалифицированному специалисту в соответствии со статьей 13.2 настоящего Федерального закона.

(в ред. Федеральных законов от 18.07.2006 N 110-ФЗ, от 19.05.2010 N 86-ФЗ)

3. Срок временного пребывания иностранного гражданина в Российской Федерации может быть соответственно продлен либо сокращен в случаях, если изменились условия или перестали существовать обстоятельства, в связи с которыми ему был разрешен въезд в Российскую Федерацию.

4. Решение о продлении либо сокращении срока временного пребывания иностранного гражданина в Российской Федерации принимается федеральным органом исполнительной власти, ведающим вопросами иностранных дел, или федеральным органом исполнительной власти в сфере миграции или его территориальными органами.

(в ред. Федеральных законов от 18.07.2006 N 110-ФЗ, от 19.05.2010 N 86-ФЗ)

5. Срок временного пребывания иностранного гражданина продлевается при выдаче иностранному гражданину разрешения на работу или патента либо при продлении срока действия разрешения на работу или патента в соответствии со статьей 13.1, 13.2 или 13.3 настоящего Федерального закона.

Срок временного пребывания в Российской Федерации иностранного гражданина, прибывшего в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, заключившего трудовой договор или гражданско-правовой договор на выполнение работ (оказание услуг) и получившего разрешение на работу с соблюдением требований настоящего Федерального закона, продлевается на срок действия заключенного договора, но не более чем на один год, исчисляемый со дня въезда иностранного гражданина в Российскую Федерацию.

Указанное в абзаце втором настоящего пункта ограничение срока временного пребывания не распространяется на иностранных граждан, привлеченных для осуществления трудовой деятельности в качестве высококвалифицированных специалистов в соответствии со статьей 13.2 настоящего Федерального закона, а также на иностранных граждан, осуществляющих трудовую деятельность в соответствии со статьей 13.3 настоящего Федерального закона и с частью 2 статьи 16 Федерального закона "Об инновационном центре "Сколково".

(в ред. Федерального закона от 28.09.2010 N 243-ФЗ)

Не допускается продление срока временного пребывания иностранного гражданина в соответствии с абзацами первым - третьим настоящего пункта для иностранных граждан, прибывших в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, и осуществляющих трудовую деятельность в соответствии со статьей 13.1 или 13.3 настоящего Федерального закона, если в соответствии с межправительственными соглашениями о взаимных безвизовых поездках граждан такие иностранные граждане для въезда в Российскую Федерацию в целях осуществления трудовой деятельности свыше сроков, установленных такими межправительственными соглашениями, обязаны получать визу.

(п. 5 в ред. Федерального закона от 19.05.2010 N 86-ФЗ)

6. Срок временного пребывания в Российской Федерации иностранного гражданина, прибывшего в Российскую Федерацию и поступающего на военную службу по контракту, устанавливается в порядке, определяемом Правительством Российской Федерации.

(ст. 5, Федеральный закон от 25.07.2002 N 115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации" (принят ГД ФС РФ 21.06.2002))

Всего доброго.

В вашем случае основанием для продления срка пребывания может быть:

- учеба,

- получение патента или разрешения на работу,

- подача на РВП.

"Подачи на квоту" и "ожидание квоты" в законодательстве нет и не было, эта "процедура" незаконная. Следовательно, все вопросы задавайте в ОУФМС РФ по Туле и только туда.

Если же подадите именно на РВП - срок может быть продлен (по новому уведомлению принимающей стороны).