Можно ли уволиться без отработки 2х недель, если есть маленькие дети, и распространяется ли это правило на мужчин?

Можно уволиться без отработки или по соглашению с работодателем, или при наличии уважительных причин:

ТК РФ, Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

...

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Вы обязаны предупредить работодателя о своем увольнении за 2 недели до даты предполагаемого увольнения.

По соглашению сторон (работника и работодателя) - работник может быть уволен и ранее истечения 2 недель.

Чтобы не отрабатывать 2 недели после написания заявления об увольнении вам нужно договориться об этом с работодателем. По соглашению сторон Вас могут уволить в любой день.

Вам следует предупредить работодателя об увольнении за две недели до даты увольнения. Можно уволиться раньше, но с согласия работодателя.