Возможность требования возмещения морального вреда при оспаривании отцовства и процедура подачи иска на компенсацию

В "процедуре" будут задействованы ваш супруг и ребёнок. Чисто процедурно унизительного там ничего нет (скорее всего просто будут отобраны пробы слюны). Компенсация вашего морального вреда маловероятна: дело в в том, што, обращаясь в суд, ваш супруг реализует своё конституционное право на судебную защиту. Реализация такого права с точки зрения закона не может причить вам моральный вред. Другое дело, если он публично и не в судебном заседании распостранял порочащие вас сведения, ну например: "она мне изменяла", "она нагуляла на стороне" и т.д. - но это ещё ведь надо доказывать. Если такие доказательства у вас будут, то это друго едело.

В целом по второй части вопроса: встречные исковые требования рассматриваются судом в одном заседании с основным иском только в том случае, если они могут исключить удовлетворение основного иска (полностью либо частично). В вашем же случае требования о компенсации морального вреда на факт биологического отцовства не повлияют, поэтому в любом случае - такой встречный иск судья не примет, максимум - выделит его в отдельное производство (которое вы проиграете).

Ну и вопрос по сумме на которую вы можете расчитывать я думаю с учётом сказанного отпадает сам собой.

В качестве "утешительного приза" предлагаю вам предъявить к компенсации за счёт супруга свои судебные издержки: расходы на проезд, расходы на представителя в суде, фактическая потеря времени. В этой части рекомендую почитать статьи 88, 94 и 99 гражданского процессуального кодекса РФ.