Как правильно оформить трудовые документы после перехода на новую работу, если работник на предыдущей работе взял отпуск с последующим увольнением?

Надлежащим образом

Приказ, запись в трудовую книжку...

Статья 16 Трудового кодекса Российской Федерации. Основания возникновения трудовых отношений Трудовые отношения возникают между работником и работодателем на основании трудового договора, заключаемого ими в соответствии с настоящим Кодексом. В случаях и порядке, которые установлены трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, или уставом (положением) организации, трудовые отношения возникают на основании трудового договора в результате: назначения на должность или утверждения в должности; судебного решения о заключении трудового договора; признания отношений, связанных с использованием личного труда и возникших на основании гражданско-правового договора, трудовыми отношениями. Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен Фактическое допущение работника к работе без ведома или поручения работодателя либо его уполномоченного на это представителя запрещается.

Чтобы не нарушать нормы трудового законодательства, оформите сейчас гражданско-правовой договор. Если заключить трудовой договор по совместительству, то новый работодатель должен предоставить отпуск, не предоставит, нарушит ТК РФ.

Купите новую трудовую книжку и оформляйтесь по ней на работу. Старую книжку храните для предъявления при выходе на пенсию. Удачи.