Ситуация с незаключенным трудовым договором и невыплатой зарплаты - как доказать свою правоту?

Попал в следующую ситуацию.7 июля я устроился на работу в должность мерчендайзера в компанию "Балтика".На тот момент мне сказали, мол ничего страшного что у тебя нет медицинской книжки, сделаешь в процессе, при этом я подписал трудовой договор 6 июля, но,как оказалось они его не отослали в отдел кадров. С 7 июля я исправно выходил на работу и выполнял свои трудовые обязанности, со стороны руководства ко мне не было никаких претензий. К 26 июля я сделал медицинскую книжку, и только после этого они вспомнили, и то после того как я напомнил про мой трудовой договор, который лежал на столе 3 недели и никуда не отсылался. Таким образом, три недели работы прошли бесплатно.9 августа мне позвонила начальница и сообщила что моей работой осталась недовольна комиссия и предложила мне уволиться по собственному желанию, на что я попросил ее сделать все по закону, а именно с выписками и так далее, на что я услышал гадости в свой адрес и самое главное что я не получу бонусной части за июль, мол раз такой принципиальный. Все это дело я записал на диктофон, а часом позже подписал заявление по собственному.

На следующий день я обратился в трудовую инспекцию с заявлением в котором указал факт того что за 2 недели мне выплатили 4500 руб (оклад 19000). В магазине в котором я работал есть журнал прихода-ухода сотрудников, в котором моя фамилия значиться с 7 июля, будет ли это фактом того что я работал?

Так же в трудовой мне сказали, что допуск сотрудника у которого нет медицинской книжки это сильное нарушение ТК.

Есть ли шанс доказать свою правоту?

На работу оформили 26 июля, уволен 9 августа, официально проработал 2 недели, по факту-месяц

Является ли журнал прихода сотрудников на работу доказательством того что я действительно работал?