Как запросить табель рабочего времени профессионально, избегая проблем в будущем?

Запросить правильно и запросить без подозрений это не совсем одно и тоже. Вопросы, вероятнее всего, возникнут в любом случае. Любят у нас люди спрашивать "а зачем Вам это? а для чего Вам это?".

"Правильно" запросить это вот так: составить в двух экземплярах и сдать через канцелярию обращение, при этом на втором экземпляре попросите поставить отметку о принятии.

А "без подозрений со стороны руководства" можно так: подружиться с отделом кадров и попросить одного из сотрудников выдать Вам копию такого документа, заверенную печатью и подписью сотрудника. Обосновать это можно необходимостью предоставления, например, в банк для повышения лояльности к вам (мол "хочу показать как много работаю, а значит меня не должны уволить и я не потеряю доход и смогу выплачивать кредит) "или даже в школу ребенку (мол "для того чтобы не брать на себя дополнительные обязанности родительского комитета"). В общем хитрить можно по-разному.

Кроме того многое зависит от того как организована работа у Вас в фирме. Если Вас в организации всего двое - Вы и руководитель, то кроме него, собственно, ни у кого и нет полномочий или возможности выдать Вам такой документ и значит пояснения какие-то более логичные стоит дать. А если это крупная организация, внутри которой доброжелательные отношения между сотрудниками, то девочкам-коллегам из отдела кадров можно наплести вообще любую историю, обосновывающую необходимость предоставления такого документа. Причем эта история даже может и не быть логичной (например, как было предложено выше).