Учитель какой квалификационной категории может работать по ФГОС?

Здравствуйте.

Вы не указали о каком именно ФГОС идет речь. Однако, на мой взгляд сам вопрос поставлен не правильно. Вот, например:

Уровень квалификации работников организации, осуществляющей образовательную деятельность, реализующего основную образовательную программу основного общего образования, для каждой занимаемой должности должен соответствовать квалификационным характеристикам по соответствующей должности, а для педагогических работников государственного или муниципального организации, осуществляющей образовательную деятельность - также квалификационной категории.

Соответствие уровня квалификации работников организации, осуществляющей образовательную деятельность, реализующего основную образовательную программу основного общего образования, требованиям, предъявляемым к квалификационным категориям (первой или высшей), а также занимаемым ими должностям устанавливается при их аттестации.

Приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 N 1897 (ред. от 31.12.2015) "Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования"

То есть у учителя должна быть либо первая либо высшая категория по занимаемой должности (обязательная аттестация по разделу I Приказа Минобрнауки России от 07.04.2014 N 276 "Об утверждении Порядка проведения аттестации педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность" (Зарегистрировано в Минюсте России 23.05.2014 N 32408)). Добровольная аттестация на квалификационную категорию проводится по разделу II указанного приказа. Если пройдена такая аттестация, то не проводится обязательная аттестация. А требования по должности (учитель) определяются квалификационными характеристиками и требованиями профессионального стандарта.