Возможно ли восстановиться на государственной службе после принудительного увольнения по собственному желанию?

Для восстановления на работе следует обращаться в суд. Непосредственно в судах рассматриваются индивидуальные трудовые споры по заявлениям:

работника - о восстановлении на работе независимо от оснований прекращения трудового договора, об изменении даты и формулировки причины увольнения.

Вместе с тем следует помнить что согласно ст. 392 Трудового кодекса РФ работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора об увольнении - в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки

Следовательно, если сможете доказать уважительность пропуска срока, то суд может восстановить.

Не тратьте деньги и свои нервы - восстановиться невозможно, ибо невозможно доказать принудительный характер написания такого заявления (угрожали, создавали невыносимые условия труда и проч.). Свидетелями травли могут быть бывшие коллеги, но они свидетельствовать против своего работодателя не будут, т.к. зависят от него, дорожат работой, не хотят ее потерять. Обвинительный приговор в отношении тех, кто угрожал и т. п., или постановление по делу об административном правонарушении - это тоже миф, из разряда фантастики. Вот и получается, что доводы о вынужденном характере написания заявления "по собственному желанию" своего подтверждения не найдут.