Проблемы военного - назначение на новую должность и служба в Москве, проживание в казарме и проблемы с выходными - как быть?

Судя по тексту - законно, обстоятельств, делающих невозможным такой перевод без Вашего согласия, в тексте вопроса не указано.

Договариваться.

Указ Президента РФ от 16.09.1999 N 1237 (ред. от 27.12.2017) "Вопросы прохождения военной службы" (вместе с "Положением о порядке прохождения военной службы")

Статья 15. Порядок перевода к новому месту военной службы

2. Военнослужащий, проходящий военную службу по контракту, может быть переведен к новому месту военной службы по служебной необходимости с назначением на равную воинскую должность.

Перевод данного военнослужащего к новому месту военной службы с назначением на равную воинскую должность производится без его согласия, за исключением следующих случаев:

а) при невозможности прохождения военной службы в местности, куда он переводится, в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;

б) при невозможности проживания членов семьи военнослужащего (жена, муж, дети в возрасте до 18 лет, дети-учащиеся в возрасте до 23 лет, дети-инвалиды, а также иные лица, состоящие на иждивении военнослужащего и проживающие совместно с ним) в местности, куда он переводится, в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;

в) при необходимости постоянного ухода за проживающими отдельно отцом, матерью, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, не находящимися на полном государственном обеспечении и нуждающимися в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по их месту жительства в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре).