Возможно ли истцу ходатайствовать о увеличении суммы морального вреда в апелляционном суде после восстановления срока обжалования?

При рассмотрении дела судом апелляционной инстанции нельзя изменять - увеличивать исковые требования.

"Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 27.06.2018)

Статья 327.1. Пределы рассмотрения дела в суде апелляционной инстанции

1. Суд апелляционной инстанции рассматривает дело в пределах доводов, изложенных в апелляционных жалобе, представлении и возражениях относительно жалобы, представления.

Суд апелляционной инстанции оценивает имеющиеся в деле, а также дополнительно представленные доказательства. Дополнительные доказательства принимаются судом апелляционной инстанции, если лицо, участвующее в деле, обосновало невозможность их представления в суд первой инстанции по причинам, не зависящим от него, и суд признает эти причины уважительными. О принятии новых доказательств суд апелляционной инстанции выносит определение.

2. В случае, если в порядке апелляционного производства обжалуется только часть решения, суд апелляционной инстанции проверяет законность и обоснованность решения только в обжалуемой части.

Суд апелляционной инстанции в интересах законности вправе проверить решение суда первой инстанции в полном объеме.

3. Вне зависимости от доводов, содержащихся в апелляционных жалобе, представлении, суд апелляционной инстанции проверяет, не нарушены ли судом первой инстанции нормы процессуального права, являющиеся в соответствии с частью четвертой статьи 330 настоящего Кодекса основаниями для отмены решения суда первой инстанции.

4. Новые требования, которые не были предметом рассмотрения в суде первой инстанции, не принимаются и не рассматриваются судом апелляционной инстанции.

Если Ваши моральные страдания связаны исключительно с затянувшимся процессом, то Вы вправе обратиться с новым иском в суд.