Какие права имеет сожитель, прописанный в доме бабушки, после ее смерти и вступления мамы в наследство

Поскольку вы сохраняете право проживания, добровольно не выписывались, платите за ЖКУ, и это ваше единственное жилое помещение, в которое были вселены как член семьи собственника, то она не сможет вас выписать. Часть денег от продажи вам не положена.

Исходя из той информации которую вы написали в вопросе. - вы не имеете права на дом и мать сможет его продать, а новые собственники имеют много шансов вас выселить с дома на основании ст.292 ГК РФ.

Можно обратиться в суд с требованием признать наследником и признатьправо собственности.

ГК РФ Статья 1148. Наследование нетрудоспособными иждивенцами наследодателя

1. Граждане, относящиеся к наследникам по закону, указанным в статьях 1143 - 1145 настоящего Кодекса, нетрудоспособные ко дню открытия наследства, но не входящие в круг наследников той очереди, которая призывается к наследованию, наследуют по закону вместе и наравне с наследниками этой очереди, если не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении, независимо от того, проживали они совместно с наследодателем или нет.

2. К наследникам по закону относятся граждане, которые не входят в круг наследников, указанных в статьях 1142 - 1145 настоящего Кодекса, но ко дню открытия наследства являлись нетрудоспособными и не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении и проживали совместно с ним. При наличии других наследников по закону они наследуют вместе и наравне с наследниками той очереди, которая призывается к наследованию.

3. При отсутствии других наследников по закону указанные в пункте 2 настоящей статьи нетрудоспособные иждивенцы наследодателя наследуют самостоятельно в качестве наследников восьмой очереди.