Или подскажите какие заболевания относятся к тяжелым, о которых говорится в ст. 86 СК РФ?

Перечня тяжелых болезней, на основании которого можно привлечь родителя к участию в несении дополнительных расходов, нет. Следует просто обратиться в суд с иском и просить суд привлечь второго родителя к участию в фактически понесенных расходах и в расходах, которые необходимо произвести в будущем.

При отсутствии соглашения и при наличии исключительных обстоятельств (тяжелой болезни, увечья несовершеннолетних детей или нетрудоспособных совершеннолетних нуждающихся детей, необходимости оплаты постороннего ухода за ними и других обстоятельств) каждый из родителей может быть привлечен судом к участию в несении дополнительных расходов, вызванных этими обстоятельствами. Порядок участия родителей в несении дополнительных расходов и размер этих расходов определяются судом исходя из материального и семейного положения родителей и детей и других заслуживающих внимания интересов сторон в твердой денежной сумме, подлежащей уплате ежемесячно. Суд вправе обязать родителей принять участие как в фактически понесенных дополнительных расходах, так и в дополнительных расходах, которые необходимо произвести в будущем.(ст. 86 СК РФ).

Таким образом, Вы можете взыскать эти расходы в судебном порядке. Для этого Вам надо составить заявление, подать его в суд в соответствии с правилами подсудности, приложить все подтверждающие документы, в дальнейшем ходить на судебные заседания. Возможно это сделать с помощью юриста, который представит Ваши интересы, Ваше участие в процессе в таком случае необязательно.