Возможно ли пойти на пенсию по старому закону, если мне исполнилось 60 лет 03 января 1959 года?

Да, если документы все представлены. И нет, если не все.

Федеральный закон от 28.12.2013 N 400-ФЗ (ред. от 27.06.2018, с изм. от 03.10.2018) "О страховых пенсиях"

Статья 22. Сроки назначения страховой пенсии

7. Заявление о назначении страховой пенсии, заявление о переводе на страховую пенсию или заявление о переводе с одного вида страховой пенсии на другой рассматривается не позднее чем через 10 рабочих дней со дня приема этого заявления органом, осуществляющим пенсионное обеспечение, со всеми необходимыми документами, подлежащими представлению заявителем с учетом положений части 7 статьи 21 настоящего Федерального закона, которые он вправе представить по собственной инициативе с учетом положений части 8 статьи 21 настоящего Федерального закона, либо со дня представления дополнительно документов в соответствии с частями 3 и 4 настоящей статьи, либо со дня поступления документов, запрошенных органом, осуществляющим пенсионное обеспечение, в иных государственных органах, органах местного самоуправления либо подведомственных государственным органам или органам местного самоуправления организациях.

8. В случае проведения проверки документов, необходимых для установления страховой пенсии, непредставления государственными органами, органами местного самоуправления либо подведомственными государственным органам или органам местного самоуправления организациями в установленный срок документов орган, осуществляющий пенсионное обеспечение, вправе приостановить срок рассмотрения заявления до завершения проверки, представления документов, запрошенных в указанных органах и организациях, но не более чем на три месяца.