На каких основаниях (ст.ст. УПК и так далее) производится так называемый неотложный обыск?

Понятия неотложный обыск не существует.

Согласно статье 165 части 5 УПК РФ, в исключительных случаях, когда производство осмотра жилища, обыска и выемки в жилище, личного обыска, а также выемки заложенной или сданной на хранение в ломбард вещи, наложение ареста на имущество, указанное в части первой статьи 104.1 Уголовного кодекса Российской Федерации, не терпит отлагательства, указанные следственные действия могут быть произведены на основании постановления следователя или дознавателя без получения судебного решения. В этом случае следователь или дознаватель не позднее 3 суток с момента начала производства следственного действия уведомляет судью и прокурора о производстве следственного действия. К уведомлению прилагаются копии постановления о производстве следственного действия и протокола следственного действия для проверки законности решения о его производстве. Получив указанное уведомление, судья в срок, предусмотренный частью второй настоящей статьи, проверяет законность произведенного следственного действия и выносит постановление о его законности или незаконности. В случае, если судья признает произведенное следственное действие незаконным, все доказательства, полученные в ходе такого следственного действия, признаются недопустимыми в соответствии со статьей 75 УПК РФ. К исключительным случаям, в которых производство следственного действия не могло быть отложено, относятся, например, ситуации, когда необходимо реализовать меры по предотвращению или пресечению преступления; промедление с производством следственного действия позволит подозреваемому скрыться; возникла реальная угроза уничтожения или сокрытия предметов или орудий преступления; имеются достаточные основания полагать, что лицо, находящееся в помещении или ином месте, в котором производится какое-либо следственное действие, скрывает при себе предметы или документы, могущие иметь значение для уголовного дела.