Больничный судья тоже может не рассмотреть и вынести решение?

Андрей, рассмотрение указанных вами исков никак не взаимосвязано, тем более что споры по детям рассматривает исключительно районный суд! В случае наличия спора, в деле о расторжении брака Вы можете не соглашаться с тем, что спор по детям и имуществу разрешен, а просто заявить о том, что спор имеется и будет оформлен отдельными требованиями в суд с учетом подсудности спора!

Отсрочить расторжение брака можно путем заявления ходатайства о предоставлении срока на примирение, максимальный срок 3 месяца, но он дается на усмотрение суда, так что может быть и меньше)

Согласно ст. 65 СК РФ, место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей. При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд принимает во внимание возраст ребенка, его привязанность к каждому из родителей, братьям, сестрам и другим членам семьи, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (с учетом рода деятельности и режима работы родителей, их материального и семейного положения, имея в виду, что само по себе преимущество в материально-бытовом положении одного из родителей не является безусловным основанием для удовлетворения требований этого родителя), а также другие обстоятельства, характеризующие обстановку, которая сложилась в месте проживания каждого из родителей.

Поскольку вопрос решается в судебном порядке - необходимо составить исковое заявление, подать его в суд в соответствии с правилами подсудности, приложить все подтверждающие документы, возможно определиться с доказательствами, в дальнейшем ходить на судебные заседания, отстаивать свою позицию.