Как правильно подать заявление по обжалованию постановления прокуратуры в Генеральную прокуратуру - через орган, вынесший решение, или напрямую?

Нужно направлять в вышестоящтй орган.

Действия (бездействие) и решения прокурора, связанные с проведением проверки, могут быть обжалованы в установленном законом порядке (п. 15 ст. 21 Закона о прокуратуре).7. Должностные лица органов прокуратуры действующим законодательством не исключены из перечня лиц, действия которых могут быть обжалованы в порядке, установленном главой 22 КАС РФ. Так, если орган или должностное лицо, в отношении которых прокурором внесено представление, считает, что представление нарушает и (или) оспаривает его права, свободы и (или) законные интересы, создает препятствия к осуществлению его прав, свобод и (или) реализации законных интересов либо возлагает на него незаконно какие-либо обязанности, то они вправе обратиться в суд с соответствующим административным исковым заявлением в порядке, предусмотренном главой 22 КАС РФ, а суд рассматривает такое административное исковое заявление по существу; оснований для отказа в принятии данного административного искового заявления ст. 128 КАС РФ не содержит.

Через прокуратуру, вынесшую постановление.-жалобы не подаются. Но сразу в Генеральную-рано. Сначала обжалуется Постановление Прокурору той прокуратуры, которая вынесла постановление. Потом уже в вышестоящую прокуратуру. (областную). И уже только Постановление Прокурора Областной прокуратуры можете обжаловать в Генеральную прокуратуру.