Предложение разместить рекламу \'Военный билет\' с моим телефоном на заднем стекле машины - Возможны ли юридические проблемы?

Нет. Главное что бы не противоречило закону. Ответственность по уплате налогов несет организация с которой у вас договор

Федеральный закон от 13.03.2006 N 38-ФЗ (ред. от 03.04.2018) «О рекламе»

Статья 20. Реклама на транспортных средствах и с их использованием

2. Использование транспортных средств исключительно или преимущественно в качестве передвижных рекламных конструкций, в том числе переоборудование транспортных средств для распространения рекламы, в результате которого транспортные средства полностью или частично утратили функции, для выполнения которых они были предназначены, переоборудование кузовов транспортных средств с приданием им вида определенного товара, запрещается.

5. Реклама, размещенная на транспортных средствах, не должна создавать угрозу безопасности движения, в том числе ограничивать обзор управляющим транспортными средствами лицам и другим участникам движения, и должна соответствовать иным требованиям технических регламентов.

Если вы хотите разместить контактную информацию на автомобиле, принадлежащем вам, то никаких бумаг оформлять не надо.

Нет, конечно у Вас не будут проблемы. Даже если кто-то обратиться лично с каким-либо вопросом по поводу "Военного билета" просто говорите, что вы являетесь рекламой. Вашей задачей является передать клиента третьим лицам, а о том, что они делают Вам неизвестно. О тот, что они какими-то незаконными действиями занимаются Вам ничего не известно.