Какие права вождения могу использовать у себя в стране, имея двойное гражданство России и Израиля, и возможность приобрести транспортное средство?

Вы можете согласно ст 25 данного закона пользоваться израильскими правами без ограничения срока А купить транспортное средство ст 454 гК РФ конечно можете-здесь нет ни каких проблем

Федеральный закон от 10.12.1995 N 196-ФЗ (ред. от 27.12.2018) "О безопасности дорожного движения" (с изм. и доп., вступ. В силу с 30.12.2018)

КонсультантПлюс: примечание.

Водительские удостоверения, выданные в РФ до 05.11.2013, действительны до окончания срока их действия (ФЗ от 07.05.2013 N 92-ФЗ).

Статья 25. Основные положения, касающиеся допуска к управлению транспортными средствами

12. Лица, постоянно или временно проживающие либо временно пребывающие на территории Российской Федерации, допускаются к управлению транспортными средствами на основании российских национальных водительских удостоверений, а при отсутствии таковых - на основании иностранных национальных или международных водительских удостоверений при соблюдении ограничений, указанных в пункте 13 настоящей статьи.

13. Не допускается управление транспортными средствами на основании иностранных национальных или международных водительских удостоверений при осуществлении предпринимательской и трудовой деятельности, непосредственно связанной с управлением транспортными средствами.

Положение настоящего пункта не распространяется на граждан Киргизской Республики, а также граждан государств, законодательство которых закрепляет использование русского языка в качестве официального, осуществляющих предпринимательскую и трудовую деятельность на территории Российской Федерации, непосредственно связанную с управлением транспортными средствами.

(абзац введен Федеральным законом от 26.07.2017 N 204-ФЗ)