Как правильно инициировать аудиторскую проверку невыплаченных денег без официального трудоустройства и уплаты налогов?

Пишите жалобу в прокуратуру.

Трудовые отношения возникают между работником и работодателем на основании трудового договора, заключаемого ими в соответствии с настоящим Кодексом. Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен. (ст. 16 ТК РФ) Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. (ст. 67 ТК РФ).

Государственный надзор и контроль за соблюдением трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, всеми работодателями на территории Российской Федерации осуществляет федеральная инспекция труда. Государственный надзор за точным и единообразным исполнением трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, осуществляют Генеральный прокурор Российской Федерации и подчиненные ему прокуроры. (ст. 353 ТК РФ)

Указанные органы вправе производить проверки, выдавать предписания, привлекать к административной ответственности виновных лиц и т.д.

Однако, основным органом, рассматривающим индивидуальные трудовые споры, является суд (ст. 382 ТК РФ). В частности, только в его компетенции вынести обязательное к исполнению решение о восстановлении на работе, взыскании денежных средств с работодателя и т.д. Поэтому, если Вы хотите реально решить Вашу проблему, а не чтобы просто, предположим, оштрафовали работодателя, то надо обращаться именно в суд или параллельно в указанные выше органы и в суд.