Может ли клиника занести клиента в черный список и отказать в заключении публичного договора?

Вы сами ответили на свой вопрос. Незаконно.

Не существует ЧС, куда заносят пациентов, скорее всего ведут свой ЧС.

Пусть заносят, тем более это частная клиника, их действия нарушают действующее законодательство. Обратитесь в прокуратуру.

См. ст. 426 ГК РФ.

Какие могут быть законные основания, у частной клиники, для занесения клиента в "черный список" и отказа в услугах?

"Лицо, осуществляющее предпринимательскую или иную приносящую доход деятельность, не вправе оказывать предпочтение одному лицу перед другим лицом в отношении заключения публичного договора, за исключением случаев, предусмотренных законом или иными правовыми актами."-как быть с этим?

"3. Отказ лица, осуществляющего предпринимательскую или иную приносящую доход деятельность, от заключения публичного договора при наличии возможности предоставить потребителю соответствующие товары, услуги, выполнить для него соответствующие работы не допускается, за исключением случаев, предусмотренных пунктом 4 статьи 786 настоящего Кодекса.

(в ред. Федеральных законов от 08.03.2015 N 42-ФЗ, от 05.12.2017 N 379-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

При необоснованном уклонении лица, осуществляющего предпринимательскую или иную приносящую доход деятельность, от заключения публичного договора применяются положения, предусмотренные пунктом 4 статьи 445 настоящего Кодекса".-а какие могут быть обоснованные причины для уклонения?

Криухин Николай Валерьевич-какая разница? Я просто интересуюсь этим вопросом!

Криухин Николай Валерьевич, я вправе делать уточнения.

То есть, все такие существуют способы отказать клиенту?