Если суд будет на его стороне, как он может поступить со своей долей, сможет ли прописаться в квартире?

Законодательство допускает возможность установления отцовства после смерти гражданина. В частности в Семейном кодексе РФ предусмотрена ст. 50. «Установление судом факта признания отцовства», согласно которой факт признания отцовства после смерти мужчины, не состоявшего в браке с матерью ребенка, может быть установлен в судебном порядке по правилам особого производства, установленным гл. 27 и гл. 28 ГПК РФ.

При этом отсутствие оформленного отцовства при жизни значения не имеет т.к. срок для добровольного установления отцовства законом не установлен.

При рассмотрении дел такой категории суды исходят из обстоятельств, которые неоспоримо свидетельствуют о признании покойным своего отцовства в отношении данного ребенка до наступления смерти. В такой ситуации недопустимо смешивать понятие фактического воспитателя (который содержал и воспитывал ребенка, не будучи его отцом) ребенка с его отцом.

Фактами, подтверждающими отцовство после смерти лица, могут служить письма, заявления (в детский сад, школу и др.), в которых предполагаемый отец упоминает ребенка, показания свидетелей (друзей или близких покойного) об отношениях ребенка и предполагаемого отца при жизни.

При рассмотрении судом дел об установлении факта признания отцовства к участию в нем должны быть привлечены все заинтересованные лица (например, родственники, наследники покойного, органы социального обеспечения).

ЕСЛИ ПРАВО СОБСТВЕННОСТИ БУДЕТ ПРИЗНАНО, РАСПОРЯЖЕНИЕ ИМ МОЖЕТ БЫТЬ ЛЮБЫМ И РЕГИСТРАЦИЯ СОБСТВЕННИКА ИЛИ ЕГО ЧЛЕНОВ СЕМЬИ В ТОМ ЧИСЛЕ.

Сомневаюсь, что у него может получиться. Но теоретически - возможно.