Как обезопасить свой дом от прописки малолетнего ребёнка, записанного сыном без нашего разрешения?

К сожалению, вы не можете запретить регистрацию ребёнка до 14 лет в квартире, в которой зарегистрирован ваш сын. На это не нужно ваше разрешение.

Обратиться в суд и наложить арест на имущество без всяких оснований вы не можете. Арест имущества служит для обеспечения исполнения обязательств должником.

Статья 20 ГК РФ. Место жительства гражданина

2. Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 02.07.2009 N 14 "О некоторых вопросах, возникших в судебной практике при применении Жилищного кодекса Российской Федерации"

12. Разрешая споры, связанные с осуществлением членами семьи собственника жилого помещения права пользования жилым помещением, необходимо иметь в виду, что часть 2 статьи 31 ЖК РФ не наделяет их правом на вселение в данное жилое помещение других лиц. Вместе с тем, учитывая положения статьи 679 ГК РФ о безусловном праве нанимателя по договору найма и граждан, постоянно с ним проживающих, на вселение в жилое помещение несовершеннолетних детей, а также части 1 статьи 70 ЖК РФ о праве родителей на вселение в жилое помещение своих несовершеннолетних детей без обязательного согласия остальных членов семьи нанимателя по договору социального найма и наймодателя, по аналогии закона (часть 1 статьи 7 ЖК РФ) с целью обеспечения прав несовершеннолетних детей за членами семьи собственника жилого помещения может быть признано право на вселение своих несовершеннолетних детей в жилое помещение.