Подача в суд на ЗАГС - на какую статью и кодекс ссылаться и как выбрать суд?

Ссылайтесь на ст 16 ГК РФ.

Может лучше получить новый документ без ошибки? Для чего обратиться в ЗАГС. А вот при отказе (письменном) можно и в суд пойти.

Можете по месту своего жительства.

КАС РФ Статья 24. Подсудность по выбору административного истца

1. Административное исковое заявление к гражданину, место жительства которого неизвестно или который не имеет места жительства в Российской Федерации, может быть подано в суд по месту нахождения его имущества или по его последнему известному месту жительства в Российской Федерации.

2. Административное исковое заявление к федеральному органу исполнительной власти, вытекающее из деятельности его территориального органа, может быть подано также в суд по месту нахождения территориального органа.

3. Административное исковое заявление об оспаривании решений, действий (бездействия) органов государственной власти, иных государственных органов, органов местного самоуправления, организаций, наделенных отдельными государственными или иными публичными полномочиями, должностных лиц (за исключением судебных приставов-исполнителей), государственных и муниципальных служащих может подаваться также в суд по месту жительства гражданина, являющегося административным истцом, а в случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, - по адресу организации, являющейся административным истцом.

(в ред. Федерального закона от 28.11.2018 N 451-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3.1. Административное исковое заявление о признании информационных материалов экстремистскими может быть подано в суд по месту обнаружения, распространения данных материалов или по адресу организации, осуществляющей их производство.

(часть 3.1 введена Федеральным законом от 28.11.2018 N 451-ФЗ)

3.2. Административное исковое заявление о признании информации, размещенной в информационно-телекоммуникационных сетях, в том числе в сети "Интернет", информацией, распространение которой в Российской Федерации запрещено, подается в суд по адресу административного истца или по адресу, месту жительства административного ответчика.

(часть 3.2 введена Федеральным законом от 28.11.2018 N 451-ФЗ)

4. Право выбора между несколькими судами, которым согласно настоящей статье подсудно административное дело, принадлежит административному истцу.

Согласно судебной практики никакая компенсация вам не светит.

Перед выдачей свидетельства заявителю дают проверять актовую запись. Ошибку не заметили - ваши проблемы. Теперь только обращаться с заявлением о внесении изменений в актовую запись.